☆ Triangle inscrit dans un cercle

Énoncé

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) et trois points distincts \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) situés sur le cercle \(\mathscr{C}\), un triangle inscrit dans un cercle \(\text{ABC}\).

Montrer que le triangle \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text B\) si et seulement si le segment \([\text{AC}]\) est un diamètre du cercle \(\mathscr{C}\).

Solution

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) et trois points distincts \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) situés sur le cercle \(\mathscr{C}\), un triangle inscrit dans un cercle \(\text{ABC}\).

Je sais que le  triangle \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text B\) si et seulement si \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BC}} = 0\).

On note \(\text M\) le milieu du segment \([\text{AC}]\). Ainsi, d'après la relation de Chasles, on a \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AM}} + \overrightarrow{\text{MB}}\) et \(\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{MC}}\).

Ainsi, on a \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BC}} = 0\) si et seulement si \(\left(\overrightarrow{\text{AM}} + \overrightarrow{\text{MB}} \right) \cdot{} \left( \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{MC}} \right) = 0\).

Cela équivaut à \((\text E) : \overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{MC}} + \overrightarrow{\text{MB}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{MB}} \cdot{} \overrightarrow{\text{MC}} = 0\).

Or, d'une part, \(\text M\) étant le milieu du segment \([\text{AC}]\) on a \(\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MC}}\) et, d'autre part, on a \(\overrightarrow{\text{MB}} = - \overrightarrow{\text{BM}}\).

Ainsi \((\text E)\) équivaut à \(\overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{AM}} + \left(-\overrightarrow{\text{BM}}\right) \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \left(-\overrightarrow{\text{BM}}\right) \cdot{} \overrightarrow{\text{AM}} = 0\).

ou encore à \(\overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{AM}} \right\rvert\right\rvert^2 - \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{BM}} \right\rvert\right\rvert^2 -\overrightarrow{\text{BM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{AM}} = 0\)

ou encore à \(\overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{AM}} \right\rvert\right\rvert^2 - \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{BM}} \right\rvert\right\rvert^2 -\overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} = 0\)

ou encore à \(\boxed{\left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{AM}} \right\rvert\right\rvert^2 = \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{BM}} \right\rvert\right\rvert^2}\).

Or, une norme de vecteur sont positive.

Donc cela équivaut à \(\left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{AM}} \right\rvert\right\rvert = \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{BM}} \right\rvert\right\rvert\) ou encore à \(\boxed{\text{AM} = \text{BM}}\).

Et puisque \(\text M\) est le milieu du segment \([\text{AC}]\), cela équivaut à ce que \(\text{AM} = \text{CM} = \text{BM}\).

Les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) étant distincts, cela équivaut à ce que \(\text M\) soit le centre du cercle \(\mathscr{C}\).
Or, \(\text M\) étant le milieu du segment \([\text{AC}]\), cela équivaut à ce que le segment \([\text{AC}]\) soit un diamètre du cercle \(\mathscr{C}\).